半月記

厳密には「6÷2(1+2)」ではなくて、数字の部分が文字になっているものですが。「かけ算の順序問題」のように、呼びやすい名前があるといいのですが、そうでもないので、最近よく目にする「6÷2(1+2)」をタイトルにしてみました。

さて本題。

記号が省略されたかけ算と、明記されたわり算の優先順位については、検索すればいろいろ見つかります。最近では「６÷２（１＋２）＝１ or 9 まとめ」など。私は、そのまとめのコメント欄にも登場している黒木さん(過去のtweet)にまったく同意するものです。

入試問題

そんな中ちょうど、新聞で高校入試の問題を目にしました(画像は試験当日の夕刊)。そこにまさにこの問題が出ていたのです。1(1)ウがそれです。

問い合わせてみた

そこで、これを実施した県教育委員会にメールで問い合わせてみました。

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質問1
新聞では「解答例(県教委)」として本設問の答が「6a」となっていた。これは県教委が発表したものに間違いないか?

質問2
その答は、『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』を前提としたときに導かれるが、この理解で正しいか?

質問3
そうだとすると、『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』の根拠は何か? できれば典拠を示していただきたい。

質問4
数学において『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』は常識ではない。すると本設問の答は「6 a^5 b^4」でもあり得る(ここで ^ はべき乗)。これも正解としないのか?

質問5
以上のように本設問はあいまいであり、入学試験問題としては不適切である。見解を伺いたい。
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回答があった

翌日にさっそくPDFファイルが添付されたメールで回答がありました。PDFといっても、1枚の画像そのままです。PDFにしている意味がよくわかりません。

回答の内容を書き写すと、

• 答えは、県教委が発表したもので間違いありません。
• 中学2年の数学『単項式の乗法、除法』において学習しています。
  • (教科書(啓林館)の例)
  • 「平成26年度 全国学力・学習状況調査」の出題例
• 以上のように、中学校での学習や国の調査問題でも指導されております。このことから、学力検査問題として適切なものと考えております。

ということでした(式の部分はここに書き写すのが難しいのでPDFファイルを見てください)。

これから

こちらからの質問4、「これは数学においては常識ではない」がちょっと弱かったなと反省しています。自分でもそうは思っていたのですが、なるべく早く問い合わせたほうがいいと考えたので、じっくり考えて書く暇がなかったのでした。今回の回答のような“逃げ”を打たれないように、もう少し裏打ちのある根拠をこちらから挙げて聞くことができればよかったと思っています。このへん、どのような質問にすれば有効か、お知恵がありましたらコメントをいただければさいわいです。

ネットでああだこうだ言っていても、それだけで中学校の授業や高校入試の状況に影響を与えるのはなかなか難しいでしょう。しかし、高校入試というのはたいへんいい機会です。今回のように新聞に発表されますし、問い合わせれば出題ミスの可能性がある限り、まじめに検討して回答せざるを得ません。多くの問い合わせがあれば、各教育委員会からさらに本省のほうへ問い合わせが行くようになるかもしれません。少なくとも今回のような問題は「悪問」として、入試では避けよう、となるかもしれません。

何もしないよりはましだろうとまずは行動してみたよ、というお話でした。

ドミノ

スウちゃん(仮名、6歳)は保育園から帰るととにかく「遊びたい」。眠っていないあいだはとにかく遊び続けなければ死んでしまうというくらい遊びたい。といって家や近所に子どもはいないから、一人遊びじゃなければ大人が相手をすることになる。いろんなゲームもやってきた。カルタ、すごろく、どうぶつしょうぎ、オセロ……。そして最近の流行はドミノだ。

いまうちにあるのは私(=スウちゃんの父)が学生の頃に麻雀牌も売っているようなおもちゃ屋で買ったもの。でもいま日本でちゃんとしたもの^[1]はあまり売っていなさそうだ。「木箱入プラスチック製ドミノW6白黒」だと真ん中に鋲がないなあ。Amazon USA のダブル・ナインは鋲あり。日本から買うと送料が本体と同じくらいかかってしまう。

ルールは「ファイブ・アップ」(参考1、参考2)。

しばらくは点数関係なしで、札の出し方を学習。ゲームとなれば子どもは簡単に覚える。

続いてプレイ中の得点。どれを出せば得点になるかなんて戦略もないのでとにかく出せるものを出す。たし算ができないので、出したものを大人が計算してやる。「5の倍数だったら、5で割った商が得点」なのだが、意外に早く5の倍数を覚える。「15」→「3点!」、「20」→「4点!」のように^[2]。

終了時は「相手の手に残った目の合計を5で割った値(うちでは端数切り捨てというローカルルール)」でやっているが、これも合計を大人がやってやれば「その中に5はいくつ入ってる?」と聞けばほぼ得点を出せる。九九で言えば「5の段」が、それも九九とは全然別の形で頭に入っているらしい^[3]。ゲームだとこんなことまでできるんだなあ。

まともな勝負には程遠いが、とりあえずなんとかゲームの体をなすことはできる。さて、大人は手札を元に計算しながら出せるので、強い。同じ札でもあっちに出せば得点できるのにこっちに出すと得点できないということも起こる。子どもはだんだん悔しくなってくる。ここで「たしざんができるようにならないとつよくなれないねー」ということになる。

たたみかけるように、ここでダブル・ナインのセットに替えて同じゲームをやると目の数がぐっと増えるので、それまではたし算できなくても目を数えあげて何とか出来ていたものも追いつかなくなり、いよいよ悔しさをつのらせる。

さんすう

1年ほど前、何の拍子だったか忘れたけれど数に興味を示して、そのうち「同じ数を2回」、つまり「2と2は4」「3と3は6」「4と4は8」……を言えるようになっていた。九九で言えば「2の段」に相当する。せっかくそういう興味が出てきたのならちゃんとやってあげようか、などと考えて、道具を揃えてみた。

テキストには「わかるさんすう 1」。かなり古くまた検定は通しはしないけれど「教科書」としてしっかり練られたものということを知っていたので、これにしてみた。Amazon では手に入りにくいが、ふつうに街の本屋さんで注文したら簡単に入手できた。

「わかるさんすう 1」では、「タイル」を使う。手作りでもいいけれど、横着して買うことにした。「タイル」ではなくて「キューブ」。似たような商品もあるが、安さと、それに「接続できる」ということでこれにした。またちょっと別のもので「100だまそろばん」というのもよく評判を聞くが、やはり自由さの点でキューブにした。

紙が潤沢に使えるのであればそれがいいのだろうけれど、きりがないのでうちではもっぱらおえかきボードを活用している。

いまは2色の「2カラーせんせい」なんだな。うちにあるのはおさがりでもらった「スーパーせんせい」で1色のもの。元の持ち主は4歳くらいでもう飽きて遊ばなくなったからと、スウちゃんが1歳か2歳のころにもらったものだが、うちではいまだ現役。でもこういう用途だと、もうすこし画面が大きく、また解像度が高いといいなと思う。

さてさて、今から1年ほど前にこうして「さんすう」をやりかかってみたけれど、スウちゃんははじめのあいだはともかく、ほどなく興味を失ってしまった。こちらも是が非でも早期教育をとも思っていなかったし、ただ、もし数に興味を示すのなら(ほら数学の天才は幼児期からそうだと言うでしょう)その芽を摘まなくても、という程度の考えだったので、めったに日の目を見なくなっていた。つまりスウちゃんは数学に関しては天才ではなかったわけだが。

ふたたび「さんすう」

時は戻ってふたたび現在。ドミノのおかげで、たし算をできるようになりたい、という気がスウちゃんに俄然湧いてきた。こうなると見向きもしなかったテキストとキューブ(ブロック)に取り組み始める。

いまは

• 5-2進法は強くこだわらないことにする。本人がどちらが楽かまだわからないので。
• たし算を同時にひき算も教える。「7は5と2だから……」のように、たし算の過程でひき算に相当する部分が出てくるので。
• ほとんど最初から筆算(縦書き)にする。この先の繰り上がりを見据えて。
• 適宜ブロックを使う。
• いまのところ、素過程を網羅的に、とは考えない。これは「水道方式」のいいところを落としているのかもしれないけれど。少し先にひき算(13−7など)をやるときに困るかもしれない。そのへんは行きつ戻りつやればいいか。
• 文章題も適宜。逆に「たし算の問題を作る」ような作業も多めに。

という感じで進めている。

自由な発想

スウちゃんはすごろくなどのゲームやドミノでサイコロ(の目の形)に親しんでいたからか、「6は3と3」の意識が強い。5-2進法のための「6は5と1」とはなかなかならない。そこで「6+3」を計算する際はブロックを3×2に並べ、そこに3つのブロックを加えて3×3の形にし、「こたえは9」になる。どうやらイメージ先行らしい。

この先の発展のためにはどうかとも思うが、まだカリキュラムに沿った学習をしていない子どもの発想は自由でおもしろい。「8−2」は、まず2×2×2の立方体を作って「8」。なんだそれ。3次元じゃないか。2の3乗だよ。それから2つをとり、変形させて3×2にして「6」。このへんはボール紙で作ったタイルじゃなくて、縦横に接続できるカラフルマスキューブにしていたからこそだったかもしれない。

世の中、算数だけで出来ているわけではないから、小学校に入って型通りの授業が始まるまではこの自由な発想を楽しむことにしよう。

さて、こんな調子でスウちゃんはドミノが上手になれるだろうか。

1. と言っても、うちのもさすがに象牙製ではない。ドミノ倒し用ではなく樹脂製の適度な重みのもの。↑
2. これと同時期に時計の分針を読めるようになり、「ドミノといっしょ!」と叫んでいる。↑
3. いまの段階で九九の暗誦なんて絶対にやらせたくない。↑