「6÷2(1+2)」問題は100年前にも議論されていた

明示されない乗算と除算記号の演算順序について、記事『「6÷2(1+2)」問題について教育委員会に問い合わせてみた』『6÷2(1+2)問題あらため2a÷2a=1問題 — はてなブックマークのコメントに反応してみる』を書いたのは2015年3月でした。そのときですら既に周回遅れで、検索してみるとその2,3年前にも話題になっていたようです。そして年に数回ほど、突然ばっとこの記事へのアクセスが増えることがあります。どこかで話題になり、検索してたどり着くのでしょう。

私はこの問題に特に興味を持っているわけでもなく、その後を追っているわけでもないのですが、今年(2019年)に入ってまた急にアクセスが上昇したので、思い出したように自分でも検索してみたところ、興味深い例を見つけました。

Lennes, N. J. “Discussions: Relating to the Order of Operations in Algebra.” The American Mathematical Monthly 24.2 (1917): 93-95. Web. https://www.jstor.org/stable/2972726

です。内容をかいつまんでみると、

  • 理論的には、演算順序は左から右なので、9a2÷3a = 3a3 であって 3a ではない。
  • しかし実際には、9a2÷3a = 3a のような例ばかりが見られる。
  • 当時の Chrystal の代数の教科書では、これを避けるため、乗算記号のない積を除算記号の直後に置かないよう注意深く書かれていた。
  • それに続くいろいろな人による教科書ではその注意が足りず、10bc\div 12a = \frac{(10bc)}{(12a)} などと書かれた。
  • 9a2÷3a は 3a を意味して 3a3 ではない、というのは「数学の慣用表現」である(英単語 drink の過去形が drank であって drinked でないように)。
  • これは論理的ではなく、歴史的な事柄である。

というものです。

以前の私の記事には、なんとか 9a2÷3a が 3a であることの理論的(?)根拠を示そうと、多くのコメントが付きました。私にはさっぱり響きませんでしたが。それが100年も前に「理論ではない、“慣用表現”だ」と喝破されていたのでした。古い文献に 9a2÷3a が 3a のような例があることをもって、それみろと言わんばかりにこれを主張する人がありましたが、むしろ逆で、古い文献にあるからこそ「歴史的遺物」とも言えるわけです。

以前の記事へのコメントに答えて私も「Smith の第33条で、(a÷b÷cは)「a÷bcと書くこともあるよ」と、ほんのおまけのように付け加えていることは、ただこの慣習に触れているにすぎないのではなかろうか、と思わされました。」(2015年3月18日のコメント)と書いています。今あらたにその思いを強くしています。

繰り返しますが、私はこの問題に特段の興味があるわけでもなく緻密に議論を追っているわけでもありません。その私は今、

  • ずっと昔は、乗算と除算の優先順位が同等でない考え方もあった。“If an arithmetical or algebraical term contains ÷ and ×, there is at present no agreement as to which sign shall be used first.” (Cajori ”A History of Mathematical Notations” 1928–29)
  • 「慣習的に」9a2÷3a が 3a であるような表記もしばしば行われた。
  • 既に100年前に、それは慣習的・歴史的なものであり、理論的ではないと指摘されていた。
  • 理論的でない表記は廃れるかと思われたが、いつしか「慣習的」であることが抜け落ちた。
  • 今日でも中学生にはこれが「慣習的・歴史的」とは告げずに教えられている。

のような流れではなかろうかと推測しています。

この Lennes (1917) の存在を教えてくれたのは、今回検索していて見つけた動画でした。

私の記事よりは後の2016年に公開され、現在(2019年)までに1千万回以上も視聴され、7万件以上のコメントが付いています。もちろんすべてのコメントを見ることはできていませんが、ざっとみたところ「1派」も「9派」もたくさんいます。このことからはっきりわかるのは、この問題は「あいまい」であるということです。

以前の記事へのコメントでも書きましたが、この問題についての私の考えは次のとおりです。それは上述の100年前の指摘を知った今も変わりません。

ab÷ab を ab÷(ab) と書きさえすれば誰もあいまいだとは思いません。中学校でもこの表記で教えて何か困ることがあるでしょうか。括弧を付けても単項式の除算の意味を教えるのに何の不都合もありません。現状のあえて括弧を付けない ab÷ab でしか表せない何かがありますか。ab÷ab と書かなければならない必然性がどこにもありません。(2016年3月7日のコメント)
「すべき」ことは、むしろ括弧を使うことです。別の解釈をさせたければ ab÷(ab) と、括弧をつかう「べき」です。単項式わる単項式の理解度を計測するのに、括弧を使っても何の不都合もありません。(2018年9月4日のコメント)

【この記事にコメントする際の注意】

この話題に関する以前の記事『「6÷2(1+2)」問題について教育委員会に問い合わせてみた』『6÷2(1+2)問題あらため2a÷2a=1問題 — はてなブックマークのコメントに反応してみる』には非常に多くのコメントが付けられ、後から読む人が苦労するほどになってしまいました。そのため、それらの記事へのコメントの受付を停止します。

この記事へのコメントは、それらの記事に既に付けられているコメントと同内容と私が判断するものは、原則として不掲載とし、削除することをあらかじめ宣言しておきます。自由に意見を述べることを封殺する意図はありません。後にここを目にする人たちに対しての配慮です。ご理解ください。

“「6÷2(1+2)」問題は100年前にも議論されていた” への 7 件のフィードバック

  1. いまいち、何を言っているのか良く分からないです。

    >理論的には、演算順序は左から右なので、9a²÷3a = 3a³ であって 3a ではない

    とのことですが、「9a²÷3a」は「9a² を 3a で割る」という意味ですよね?
    「9a² を 3a で割る」と「3a³ になる」と言っているのですか?

    返信
    1. それは参考文献の主張であって、単に私が抄訳した箇所ですので、私に言うよりも元の文献をお読みください。「いまいち、何を言っているのか良く分からない」のなら、コメントするのはわかるようになってからにしてください。あらかじめ宣言しているとおり、このような内容のコメントは削除することがあります。ご了承ください。

      返信
  2. 数学のルールって、厳密に決まっているようで、慣習的なものがありますね。たとえば、sin2θ=sin(2θ)なのにsinθcosθ=(sinθ)cosθなのも不思議ですが慣習的なのだと思います。9a^2÷3aについても、100年も前から「=3aとする例ばかり」であり、今なおそう(例えばフィジカルレビューの論文投稿要綱はそうらしいです)なのですから、学校で3aを正解とするルールで教えているのも致し方ないという印象です。drinkの過去形はdrankであると教えているように。

    返信
  3. 論文をちょっと読んでみましたが、Lennes氏は慣用表現の使用を否定しているのではないんですね。
    むしろ逆で、「代数の知識がある人なら誰でも 9a²÷3a=3a(≠3a³)と考える。ゆえに、(この慣用的な)ルールは、実際の使用法に基づいて決定された、正しいルールだ。」と言っているようです。
    論文を引用したYoutubeの動画も6÷2(1+2)=1を正解としているみたいですね。

    返信
    1. 匿名氏は元に当たった上でじゅうぶんご承知のこととは思いますが、このようにまとめられると「正しい」という語の印象が強くて、これだけを見てまた微妙に誤解する人が出てくるような気もしますので、補足しておきます。ここを見る人には、元の英文はとても短いので直接目を通されることをお勧めします。

      > (この慣用的な)ルールは、実際の使用法に基づいて決定された、正しいルールだ。」と言っているようです。

      訳し方にもよると思うのですが、「(1917年当時)巷にあふれているこの表記を解釈するには」という文脈のうえで、そうだと言っているのだと思います。

      Lennes は、この表記を使い続けることがいいかどうかには言及していません。むしろ、(大御所はそれを避けたが)多くの追随者は注意が足りなかった、とネガティブに(と私には思えました)書いています。

      > 論文を引用したYoutubeの動画も6÷2(1+2)=1を正解としているみたいですね。

      これはちょっと違うような。
      動画の前半は 6÷2(1+2) が 9 になる説明をして、ちょうど真ん中あたりの 2:00ころ に This is, without a doubt, the correct answer to this expression as written accroding to the modern usage of the order of operations. と結論しています(字幕参照)。その後に、6÷2(1+2) が 1 になるのは historical usage と説明しています。

      ここからは私の意見ですが、英単語の drank と違うのは、この表記は避けることができる(すなわち分数表記とか括弧使用とかによって)ということです。

      返信

コメントをどうぞ