前の記事『「6÷2(1+2)」問題について教育委員会に問い合わせてみた』は、予想以上に多くの人の目に触れたようです。自分のブログでこれほど読まれた記事は過去になく、これまで「はてなブックマーク」というものを気にしたことはありませんでした。今回はそこから導かれてくる人もけっこうあるようなので見てみましたら、そこにいくつかのコメントがありました。言いっぱなしで、それについての反応を期待されていないものとは思いますが、あえて応えてみます。
「6÷2(1+2)」というタイトルについて
最近よく見かけていた「6÷2(1+2)」をタイトルに持って来ましたが、私はその本質を、それが数字だけの式だからというより、『「記号の省略されたかけ算」と「記号の明記されたわり算」の優先順位』の問題だと思っていました。ですから「2a÷2a=1 問題」とでも言ったほうが誤解が少なかったかもしれません。念のため付け加えますが、「÷」を「/」と書いて「2a/2a」でも同じ問題があると思っています。つまり私にとっての関心は、数字か文字かということではなく、「÷」という記号でもない、ということです。
「中学数学もろくに……」について
むしろ中学数学しか知らなければ「2a÷2a=1」に疑問を感じないのかもしれません。そこから先に、高校や大学で数学や物理に触れる機会が増えるほど、この表記を疑わしく感じるのでないかと思います。
私自身がいつからそう思うようになったか、というはじめのところは覚えていませんが、大学のときにその混乱に遭遇したことは覚えています。
1/xy のような簡素なものなら 1/(xy) の意味かと思いやすいかもしれません(それでも疑わしく考えますが)。それよりもやや複雑な k/2(x2+y2+z2) のような形を教科書だか論文だかで目にしました。紙幅を節約するためか、TeXでいう「ディスプレイ形式」ではなく、1行に収めるように表記されている場合、しかも k と 2 の間の線が水平ではなく斜めになっている場合に、この不安が呼び起こされます。そしてこの (x2+y2+z2) は分子の側だっけ、分母の側だっけ、と数ページ前にさかのぼってこの式の導出されるところを確認しなければならないことになります。ゼミのような場面で読み合わせているときにもそれは起こったので、私だけではなくそこに居合わせた学生のみならず教官も含めて、こんなあいまいな書き方はよくないよね、というのがその場での共通認識でした。
中学より後の数学に触れたことのある人で、「2a/2a は 1 か a2 か」と問われて「1 に決まってる」という人はまずいないだろうと思います(私自身が調査をしていませんので断言はしませんが)。はてなブックマークのコメントで「明白だ、中学数学もろくに……、算数できない人……」という人(星を付けた人も含めて)が、いまなぜこれほどいるのか不思議でしかたありません。
「明白」について
私は、
- かけ算とわり算の優先順位は同列である
- かけ算の記号(×)は省略できる。ab は a×b と同じ
- 2a÷2a=1 である
の3つは同時には成り立ち得ない、と理解しています。(1)(2)を前提とするならば、2a÷2a は a2 にしかなりません。
(3)が成り立つと主張する人は、(1)や(2)を否定、つまり、
1′. かけ算の記号を書いたときと省略したときでは意味が違い、省略されたかけ算は明記されたものより優先順位が高い
というルールをいつのまにか導入しています。そうでなければ、どうにも 2a÷2a は 1 になりません。
この(1′)は、学習指導要領や教科書、指導書などに明記されているでしょうか? おそらくないでしょう。(3) を持ち込みながら、一方では (1)(2)を否定しないふりをしている、という姑息な状態になっています。
さてついでに、
というコメントですが、どうもこの人たちの中では、2a は単項式で 2×a は多項式のようです。意味が通じません。
何を測る問題なのか
はてなブックマークのコメントで有益なものはありませんでしたが、そのページからのリンクで発見した『Raccで「6÷2（1+2）」』の後半には、たいへん示唆に富む情報がありました。
https://twitter.com/metameta007/status/576296729949044736から始まる一連のツイートについて，情報源を調べてみました．
- Charles Smith“A Treatise on Algebra” 19頁：https://archive.org/stream/atreatiseonalge04smitgoog#page/n36/mode/2up
- 『代数学教科書第1巻』（チャールズ・スミス著，藤沢利喜太郎訳）の20コマ目：http://kindai.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/828132/20
- 高木貞治の1911年『数学教科書；師範教育．算術及代数』48頁：http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/826333/29
- 高木1909年『代数教科書』68頁、160頁：http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/828242/39 http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/828242/85
自分では探そうともしていなかったので、ありがたい情報です。このような資料を示されると、自分の考えをいくらか改めなくてはならないかもしれません。
しかし、現在においても
- (1′)が提唱されていたが、数学の世界にひろく浸透していない
- そのため大抵の人は、紛らわしさを回避するため括弧を使うなど、このルールによる表記法を避けている
- そのため、ますます(1′)は浸透しない
という状況だと推測します。
「提唱されてはいるが評価が定まっていない」「信用できない」「誤解を招くため書くことがためらわれる」ようなものが入試問題として適切かという懸念は、それでも残ります。上に引用したブログの方は学習指導要領(解説)も調べているようですが、(1′)はあからさまには記述されていないようです。それはなぜかということも気になります。
この設問(簡単に 2a÷2a と書きます)は、何を計測しようとしていることになるのでしょうか。『「単項式を単項式で割る」を理解しているか』を見るつもりなら、2a÷(2a) のように括弧を付けてもその目的を達することができます。曖昧さが排除されているので、今回取り上げたような問題は起こりません。
やはり、入試問題としては不適切と言わざるを得ません。
【2019年2月4日追記】
この記事へのコメントは非常に長大になり、今後この記事を目にする人たちにとっては苦痛とも言えるほどになってしまいました。そのため、この記事へのコメントの受付は2019年2月4日をもって停止します。自由に意見を述べることを封殺する意図はありません。後にここを目にする人たちに対しての配慮です。ご理解ください。
この話題の続編とも言える記事が『「6÷2(1+2)」問題は100年前にも議論されていた』にあります。そちらにコメントしようとする場合は、ここに既にあるコメントと内容的に重複しないよう、慎重に考えた上でお願いします。
しかし、現在においても
(1′)が提唱されていたが、数学の世界にひろく浸透していない
そのため大抵の人は、紛らわしさを回避するため括弧を使うなど、このルールによる表記法を避けている
そのため、ますます(1′)は浸透しない
という状況だと推測します。
推測だな。笑。
自ら調査をしていない、一次資料を持ち合わせていないため、断定的な語を避けて「推測」という語を用いました。それ以上でも以下でもありません。
一次も何も資料など何もお持ち合わせでないのでは？
推測（個人の考え）で根拠はないじゃないんですか？？
はっきりしましょうよ。
＞２.かけ算の記号(×)は省略できる。ab は a×b と同じ
これが嘘
文字式のルールを「積の表し方」として説明しており積abと乗法a×bは「同じ」ではないですね
＞「÷」を「/」と書いて「2a/2a」でも同じ問題があると思っています。
「÷」と「／」は違いますよ？
１６÷８÷２＝？
１６／８／２＝？
はそれぞれの計算結果はいくつですか？同じだと言えますか？
> 積abと乗法a×bは「同じ」ではないですね
ときどきそのような論を持ち出す方を拝見しますが、どこから出てくるものなのでしょう? もしご存知でしたら教えてください。
ここでリンクした Smith の当該箇所では、単に「そうとも書く」とあるだけで、意味が違うとは言っていないようです。
> 「÷」と「／」は違いますよ？
> それぞれの計算結果はいくつですか？同じだと言えますか？
私に聞かずとも、ご自分で説明なさってはいかがでしょうか。ここでもいいですし、もちろんどこか別のところでもかまいません。
ちょうどリンクした Smith の見開きのところでも、「÷と/は同じ(水平線も)」と言っているようです。
＞ときどきそのような論を持ち出す方を拝見しますが、どこから出てくるものなのでしょう? もしご存知でしたら教えてください
「積の表し方」で検索すれば多数見つかりますよ
もし検索しても見つからなかったら、また、言ってください
＞私に聞かずとも、ご自分で説明なさってはいかがでしょうか。
私にとっては「１６÷８÷２＝１」は一意に決まり、これ以外の解釈はありませんが、
「１６／８／２」は「（１６／８）／２とみれば１」「１６／（８／２）とみれば４」と
解釈が一意に決まりません
なので、「÷」と「／」では意味が異なりますので、「÷」を「／」に書き換えるのは論点の
すり替えに見えます
あなたの考えは私とは違うかも知れませんので、「１６÷８÷２＝？」「１６／８／２＝？」の
あなたの見解をお聞かせください
> 「÷」と「／」では意味が異なりますので、
それぞれどのような意味なのですか?
＞それぞれどのような意味なのですか?
あなたはどう思うのですか？
念のため２つある「／」の後ろの方が長いかの前の方がが長いか違いであることを
wolframalphaのInput:欄のイメージで補足しておきますね
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%288%2F4%29%2F2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=8%2F%284%2F2%29
kankichi @kankichi573 米欄にすごいやつが…割り算を÷であらわしたときは左結合やけど／であらわしたときは決まってないって椿説を堂々と（呆れ） きめごとやさかい、どうにでもなる（%leftって書いたるのを%rightにすればいいw）ことやけど／が右結合の処理系は未経験
「１６／８／２」を音読すると「２分の８分の１６」となるでしょうけど、
これは「２分の、８分の１６」か「２分の８分の、１６」かの曖昧さを含んでいる、
ということに気が付かない人もいるのですね
Smithの本については、https://archive.org/stream/atreatiseonalge04smitgoog#page/n38/mode/2up を見ると、aの5乗bの2乗÷aの2乗bを計算する場合、最後のbは「÷b」になっています。
「Smith の当該箇所」を補足します。
Smith の少し前のほうを見てみましたら、2ページの第5条に、
とあります。また第6条に、
とあります。とんで19ページの第33条では、
となっています。
第5,6条と第33条は矛盾していると私には見えますが、その説明は見当たりませんでした。
÷と/については、19ページの第34条で、
です。
Smith によると、×とその省略の意味は同じですし、÷と/の意味も同じです。
＞Smith によると、×とその省略の意味は同じですし、÷と/の意味も同じです。
記号単独の場合はそういう表現になるでしょう
しかし、記号が複数ある場合に違いがあるならはっきりするでしょう
「a÷b÷c は…… a÷bc とも書く」と記号が複数ある場合も÷と/の意味も同じだと言えますか？
１６÷８÷２＝？
１６／８／２＝？
はそれぞれの計算結果はいくつですか？同じだと言えますか？
あなたはどう思うのですか？
あなた自身の結論となる見解をお聞かせください
「算数教育史家」を目指している高橋誠です。
参照していただいた史料の追加です。
公田藏さん（立教大学名誉教授）の下記の「四則演算の順序」は参考になります。
http://www-cc.gakushuin.ac.jp/~851051/maed/009-kota0901.pdf
上記に紹介のある、1928年段階でもイギリスで乗と除の演算順序が決まっていなかったことの指摘があるカジョリの本の274頁は以下で確認できます。
FLORIAN CAJORJ“A HISTORY OF MATHEMATICAL NOTATIONS”
http://ia700506.us.archive.org/9/items/historyofmathema031756mbp/historyofmathema031756mbp.pdf
演算記号と演算順序のルールは、時代と国によって変遷があるので、現在の日本で「2a÷2a＝1」というルールに基づく出題が高校入試の問題としてふさわしいかどうかを検討することに異論はありません。
「2a÷2a＝1」問題を私自身が調べた結果とそれに対していただいたご批判は、私のブログの下記から連続する４つの記事にあります。
http://ameblo.jp/metameta7/entry-11572625878.html
a÷bc の解釈を，a÷(b×c) とし，a÷b×c としていないのは，a÷b/c（「/」斜め線ではなく水平割線）の解釈を，a÷(b÷c) とし，a÷b÷c としていないのと整合的だと思うのですが、a÷bc の解釈を問題にする多くの方が、a÷b/cの解釈の方を問題にしないのは、「分数商表記」が数字の演算からあったからでしょうが、釈然としない思いがずっとあって時々触れてはいるのですが、スルーされてきたような感じです。
以上、古い資料をどさっと投げ出したような感じになってすみません。もし、お目を通されてご意見をいただけたらありがたいです。
多くの資料を示していただいてありがとうございます。
以下、ただの感想です。
公田論文の「四則演算の順序」は、こちらの関心のあるところが著者のそれではなかったようで、3ページの「と考えるのが妥当である」「と考えるのが妥当であろう」「避けるほうがよいと考える」と、論拠もなく曖昧な表現になっているところがまったく残念です。しかたのないことではありますけれども。
それよりも、ふと気になったのは公田論文の「乗法と除法を含む式の演算の順序については，……乗法を優先してA ÷ (B × C) として計算するという方式」もあった、という箇所です。そして Cajori(1928)でも「乗法と除法を含む式の演算の順序については，「現在，一致した見解はない」と述べている」と続くくだりです。
Smith の第33条で、(a÷b÷cは)「a÷bcと書くこともあるよ」と、ほんのおまけのように付け加えていることは、ただこの慣習に触れているにすぎないのではなかろうか、と思わされました。
高橋さんのブログの記事を拝読しました。残念ながら、ここでの別の方のコメントと同じように「b×c を乗法，bc を乗法の結果（積）」と解釈されているようであり、その点には私はまったく同意できません。失礼な言い方になってしまいますが、本文よりコメントのほうがためになりました。
また、ここでの関心とは関係がありませんが、×記号の省略をアルファベット文化と絡めた話がありました。生まれも育ちも日本語圏の私ですので何の根拠も持ちあわせてはいませんが、これは荒唐無稽にすぎるのでは、と感じました。
これまたここでの関心から外れていくので、あまり反応したくはないのですが、「a÷b(水平線c)」という表記には曖昧さがなく問題は生じません。「÷」という記号が(水平線)と同じ高さに揃えて書かれていることが肝です。それにより、b/cが優先することが表現されているからです。「スルーされてきた」と書かれていますが、ほかの方からの示唆で読むことになった http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t38/ のどこかでも触れられていましたよ。
いずれにせよ、「省略されたかけ算は明記されたものより優先順位が高い」が明記されたものがあれば、いくらか話は進むのかもしれません。
『Raccで「6÷2（1+2）」』を書いた者です。取り上げていただき、ありがとうございます。中学の数学に限定して、教科書や出題の是非を議論するのであれば、単項式をどのように教えているかの確認をせずに論じるべきではないと思っています。個人的には、「2aは単項式で2×aは多項式」という区別の仕方は賛同できません。
別アプローチですが、情報工学やそれに関連する数学を嗜んできた身としては、2a÷2aは、(((2)(a))÷((2)(a)))のカッコが省略されたものと理解しています。「構文木」にすれば、カッコなしで表現することもできます。2a÷2a＝aの2乗となるような文法のルールや構文木も、一応はイメージできますが、有用性に欠けます。
＞「2aは単項式で2×aは多項式」という区別の仕方は賛同できません。
賛同とかそーゆー問題やなく、これ（→「2aは単項式で2×aは多項式」）、間違っとるやんか。笑。
＞別アプローチですが、…
別アプローチは不要の長物。要りまへん。
この話題の醍醐味は今まで知られていなかった日本の算数数学教育批判者たちの精神的暗黒面が明瞭になること。
この問題を少しいじってみる。
係数が1で有るときはルールがある。
このルールに従うと6÷1(1+2)=6÷(1+2)=2となるべきである。
しかし、9派の論理で行くと6÷1(1+2)=6÷1×(1+2)=6×(1+2)=18となってしまう。
矛盾が生じる。
一方、1派で有れば6÷1(1+2)=6÷{1×(1+2)}=6÷(1+2)となり、矛盾は生じない。
よって6÷2(1+2)=1の方が自然であると考えられる。
要するにa×b=abとしか教えてないけど(a×b)=abと教えるべき
16÷8÷2=1
16/8/2=4かな※分数ととらえた場合
う～ん、難しいこと考えるのね
>1.かけ算とわり算の優先順位は同列である
ただし左方優先が付くけど
>2.かけ算の記号(×)は省略できる。ab は a×b と同じ
これは結果の値が同じであって計算式としては同一にはなりません。
単体では同じとみなしても構いませんが式の一部とした場合、abは(axb)と同じです
>3.2a÷2a=1 である
そうなんじゃないの？
6÷2(1+2)=もそうだけど勝手に式を分解しちゃだめですよ。
展開するときは
6÷(1×2+2×2)=
6÷(2+4)=
6÷6=1
となります。
つまり計算方法としてならばab=axbは間違っていません。
数式として書く場合にそのままaとbの乗算として分解しているのが間違いの元です。
余談ですがWindowsの電卓などでは2(1+2)の計算ができません。
これを勝手に6/2x(1+2)として計算すれば9になりますが、
算術記号で展開するには元の項を変更してはいけません。
正しくは6/(2x(1+2))としなければ正解は得られません。
かなり以前のブログに対してコメントをいれてしまい申し訳ございません。
どうしてもわからないのですが、
どうして日本の義務教育である中学の教科書に2a÷2a=1 であると表記されているのに、
「かけ算の記号を書いたときと省略したときでは意味が違い、省略されたかけ算は明記されたものより優先順位が高い」という日本語表記での定義が必要になってくるのですか。
2a÷2a=1であると言う表記はこれ自体が定義として成り立つのではないのですか。
Smith さんが同意見とおっしゃった黒木弦さんの2013.12.4のツイートにある
「単に数学ユーザー間に普及していないローカルルールを覚えていなかっただけで、内容的には正しい計算をしている。」とありますが、日本の義務教育である中学の教科書に2a÷2a=1であると明記されている内容がどうしてローカルルールになるのですか。
私は中学の学習指導要領が高校入試試験問題の出題範囲である日本の高校入試試験において、教科書に明記されているものをローカルルールであって、常識ではないとする根拠が分かりません。教科書においてそのように指導している時点で教科書を基準に作られるべき検定問題として不適切な問題とも思わないし一部のローカルルール（これは黒木弦さんの表現で、Smith さんがおっしゃったものではありませんが、同意見だと言っておられたので用いております。）とも思いません。
どちらかと言えば、Smith さんがおっしゃっていることのほうが、一部の意見とならないのですか。
ここにおける、ローカルルール（これは黒木弦さんの表現で、Smith さんがおっしゃったものではありませんが、同意見だと言っておられたので用いております。）のローカルと言うのは日本においてということでしょうか。
日本においてのルールは日本の義務教育である教科書に2a÷2a=1であるという定義が明記されているのに、きちんと明記されていない暗黙のルールとおっしゃる根拠が分かりません。
そしてこの記事の一つ前の教育委員会に問合せした内容において、
『数学において『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』は常識ではない。』と言う部分において、『もう少し裏打ちのある根拠をこちらから挙げて聞くことができればよかったと思っています。このへん、どのような質問にすれば有効か、お知恵がありましたらコメントをいただければさいわいです。』とありますが、裏打ちのある根拠が書かれたものがないのであれば、聞くことはできませんよね。
教育委員会は日本の義務教育である中学の教科書に明記されている部分を引用している時点で、教育委員会の論拠のほうが優位であると思われます。
2a÷2a=1は明記されています。もちろん表現は違うかもしれません。
ですがこれを定義とせずに、
【かけ算の記号を書いたときと省略したときでは意味が違い、省略されたかけ算は明記されたものより優先順位が高い】とどこにも日本語表記さえていない。とおっしゃるのであれば、逆に【数学において『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』は常識ではない。】と日本語表記で明記されたものを提示して下さい。
日本の義務教育である中学の教科書という言い方は、日本において最低条件の教育では全員が学ぶであろうと言うことを強調する表現として用いています。
中学の学習指導要領である教科書に明記されているものを常識ではないとする根拠を教えて欲しいです。
すみません。上のコメントを書いたものです。Smithと記した箇所はすべてMakoさんに変えて読んでください。お名前間違えてしまってごめんなさい。
おっしゃるとおり、かけ算の記号を書いたときと省略したときでは意味が違い、省略されたかけ算は明記されたものより優先順位が高い。と明記されていないことが問題であることは納得です。私もそこが分からずこちらに行き着きました。
しかし、【数学において『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』は常識ではない。】と言うことがどうしていえるのかが分からないのです。
教えて頂けるとありがたいです。
> 「単に数学ユーザー間に普及していないローカルルールを覚えていなかっただけで、内容的には正しい計算をしている。」とありますが、
> 日本の義務教育である中学の教科書に2a÷2a=1であると明記されている内容がどうしてローカルルールになるのですか。
数学というのは学校教育の中だけに存在するのではなく、その外側にとてつもなく大きく広がっています。数学そのものを研究する学問分野はもちろんのこと、理学や工学でもなかば言語のように用いられています。学問だけでなく、実業の世界でも広く用いられます。もうどこまでが「数学世界」と言っていいかわかりませんが、そのように「数学を用いる界隈」全体を見渡してみると、中学校教科書に現れる「2a÷2a=1」的ルールは特殊であり、そこ以外の「数学世界」の常識に当てはまらない、と私は思っています。その意味で「ローカル」です。
また一人の人間の成長過程の中で見ても、「2a÷2a=1」が成立するのは中学校から高校入試の時期だけで、その前後の時期で学ぶ・用いるルールとも整合しません。この意味でもたいへん「ローカル」です。
おっしゃるように、日本の中学校でこのように教えていますから、日本で育つ人の大部分がこのルールをいったん学んでいるはずなのですが、その時期を過ぎて大学や大人になって「数学ユーザー」になると、そもそもこんな表記をまったく使わなくなってしまうので、このルールはまったく定着しません。定着しないのは、数学のほかの部分と矛盾しないルールではないからです。
繰り返しになりますが、数学は学校教育の中だけに存在するのではなく、その外側にとてつもなく大きく広がっています。ですから、そのルールを決める権限は文部科学省や教育委員会にはないのです(というか、誰にもないのです)。中学校から高校入試の時期だけにそこでしか通用しない、数学のほかの部分と矛盾するルールをここに導入する意味なんかないでしょ、というのが私の意見です。
> しかし、【数学において『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』は常識ではない。】と言うことがどうしていえるのかが分からないのです。
演算の優先順位は
・括弧
・乗除
・加減
・左から
というのは小学校で習います。中学校のはじめに指数表記を習ったらそれが「括弧」と「乗除」のあいだに入るでしょう。これだけで済むんです。大人になっても。
だから中学校でもどこでもちゃんと括弧を使うように練習すればいいのです。それをせずに、なんだか「ただし単項式で割る場合は括弧なしでも括弧があるようにみなして扱う」みたいな例外のルールを追加して、ひどくみっともないことになるのがおかしいと言っています。
ありがとうございました。大変よく分かりました。
括弧をつければよいことなのですね。
今度はなぜ数学の世界で一般的ではないことが大きく議論されず、長年使用されているのかが疑問になってきました。
その世界の先生方、学者さんは、矛盾する状況のまま正しいルールとして通用していることは、特に重要視していないのでしょうか。不思議です。
ありがとうございました。
2a÷2a=a²とするのは、2a÷2ｘaと考えているからですよね。
しかし、2a=2ｘaとする根拠がわかりません。
2a=a+a、3a-a、他にも無限にありますよね。
なぜ、2ｘaであると断定し、そこからa²であると結論付けるのか。
2a÷2a=a²（ただし、2a=2ｘaの場合に限り)は、不自然です。
また、2a÷2ｘaの分母は2であり、2aｘaが分子ですが、
この際に、2aｘa=2a²は可能かと思いますが、
分母の2と分子のaで2aという元式への回帰はできないのでは？
むしろ、乗除は左からのはずですが、「2a÷」を無視し、
右の「2ｘa」から先に計算できることはありえないのでは？
右から行い、元式に回帰する変形の場合、
2a÷(2ｘa)であり、やはり1になります。
a²があり得るのであれば、2a=a+aや、3a-a等も同様にあり得るのではないですか？
その時点で、2a÷2a=不定解ではないですか。
そもそも、元式に回帰しない時点で、ただの変形ミスによる誤解、
ただしく、元式に回帰する式で計算すれば1で不動なような気がします。
2a≠a+aやその他は間違いで、この場合、2a=2ｘaのみである、
その論拠があれば教えて頂きたいです。
どうもトンデモな方の発想についていけないので、お答になっていないかもしれませんが。
> 2a=a+a、3a-a、他にも無限にありますよね。
そこだけを取り出して、等式としてみればそのとおりですよね。
そこだけを取り出して考えてしまうというのは、2a÷2a を 2a÷(2a) のように無意識のうちに、括弧を補ってしまっているのではないですかね。
省略されるのは乗算記号だけで(「省略」ではなくて不可視invisibleと考えてはいかがでしょう。見えないけど存在している、と)、ほかのものは書かれていない限りは存在していません。
妖怪ウォッチのようなもので見えないものを見えるようにしてみたら元の式は
2×a÷2×a
です。ほかに解釈のしようもありません。このうちの ÷2×a の部分を 3a-a などに置き換えられる訳がありません。これがもし 2×a÷(2×a)だったら、括弧内は置き換え可能です。もういちど言いますが、元の式には括弧はありませんよ。
後段の疑問も、ありもしない括弧を勝手に補わないようにして、不可視の乗算記号を見えるようにして考えてみたら、何も問題がないでしょう。
トンデモ発想、とお考えなのは結構ですが、数学とは厳密な学問なのではないですが？
「2aはどうみても、2ｘaに見える」のは推測であり、そこに根拠がないと申しております。
それでは、
2a÷2a=aｘ2÷aｘ2
これは数学的に無理がありますか？
2ｘa=2aですが、2a=2ｘaだけではありませんよね。
申し上げているのはその点です。
見えないものを見えるようにする、とは数学的に何ですか？
2aは2ｘaに違いない。
これは数学的ですか？
元の式に括弧はないという、お言葉を返せば、元の式に「ｘ」はありません。
これを勝手に「2ｘa」とするのが数学的に可で、
括弧をつけて(2ｘa)と変形するのはなぜ不可なのでしょう。
元式に括弧があったわけではありません。
変形に際し、必要になり発生するものです。
2aのままでは不要ですが、(2ｘa)では必要になるものです。
簡単な例：
6÷6=6÷(2ｘ3)
6÷6=6÷2ｘ3は不正。
割る数を括弧なしで操作が可能とすれば、
6÷6=6÷0+6=解なし
6÷1ｘ6=36
6には係数1が隠れています。見えないものを見えるようにした結果、
すべての割り算は、係数1を立てれば掛け算になってしまいます。
この考え方の場合、例え割る数に括弧をつけようとも、
2a÷(2a)=2a÷1(2a)となり、やはり割り算＝掛け算です。
見えないものを見えてしまうと、割り算は永久的に解けません。
すべて、
6÷(0+6)、6÷(1ｘ6)、無数に続く…は忌憚なく元式に回帰し、
一定解を返します。括弧は必要なのです。
私も、一時期、乗算記号を復活させるやり方に興味をもちましたが、
やはり、各方面で矛盾が生じてしまいます。
単位系、係数1、交換法則、回帰性…。
数学とは応用と試行の連続だと考えております。
矛盾するのは問題が悪いからだ、と思った時もありますが、
まずは自分の誤解がないか反芻し、矛盾点を理論的に潰していった結果です。
憶測、推測はなく、すべて数字で証明可能です。
> 元式に括弧があったわけではありません。
> 変形に際し、必要になり発生するものです。
ここが間違っています。ないものは発生しません。
> 元の式に括弧はないという、お言葉を返せば、元の式に「ｘ」はありません。
だから、invisible と考えてみては、と提案しました。×はなかったのが発生したのではなくて、存在はするが見えなかったものを見えるようにしてみるだけです。元の式
2a÷2a
において、「見えない×」と「在りもしない括弧」は天と地ほども違います。
ですから、
その「ｘ」が許容され、括弧が禁止される事を、数学的に証明してください。
私は逆である理由を、簡単な式で示しています。
こうなると私は考える、では、ただの主観です。
「天と地ほど違う」理由を数学的にご教授願います。
数字なしでの主張は、
少なくとも、哲学ではあるがもしれませんが、数学ではありません。
提案について応用するならば、
a÷aについても、a²とお考えですか？
a÷a=a÷1ｘa
になりますよね。
非表示である「1ｘ」については、省略可能であると数学の世界では周知です。
これは、おっしゃる通りの「invisible」にあたります。
仮に、「invisible」である「1ｘ」を追加できない場合、
「ｘ」を追加できるとするには矛盾が生じます。
また、
a÷aと1a÷1a
は別の式である。
このようなルールが必要になってきます。
必然的に、係数1を省略することは、不可能になります。
仮に、a÷a=a²とお考えならば、先述した、割り算＝掛け算です。
しかし、a÷a=1であれば、自己矛盾です。
もちろん、これらの矛盾も、
a÷a=a÷(1ｘa)と解釈するだけで、何も矛盾が生じません。
だめだ。何を言いたいのかよくわからん。
> 数学的に証明してください。
表記ルールの問題なので数学的証明も何もありませんよね。「2の平方根が√2と書かれることを証明せよ」ったってどうしようもないのと同じ。
ただまあ、「その表記が数学のほかの場面での表記ルールと無矛盾であることを示せ」という意味だと解すれば言わんとすることはわからなくもありません。
さて、コメントを重ねていらっしゃいますが、
[I] 6÷6 は 6÷(2×3) であり、6÷2×3 ではない。
[II] a÷a は a÷(1×a) であり、a÷1×a ではない。
表記が矛盾しないためには
[III*] 2a÷2a は 2a÷(2×a) であり、2a÷2×a ではない。
だ、ということをおっしゃりたいのでしょうか?
私の考えは、
[I] 6÷6 は 6÷(2×3) であり、6÷2×3 ではない。
[II] a÷a は a÷(1×a) であり、a÷1×a ではない。
はそれぞれそのとおりです。ところでそれとは無関係に
[III] 2a÷2a は 2a÷(2×a) ではなく、2a÷2×a である。
です。矛盾はしません。
むしろ順番は[III]が先で、既知の表記ルール(演算優先順位、乗算記号の省略)だけで導かれます。ありもしない括弧が湧き出ることはありません。
それと[I]とは、質が異なるので矛盾しません。[I]と同質の練習問題の例を挙げるとすれば「c=2a のとき、2a÷c を単純化せよ」です。これなら 2a÷(2a)となって、答は 1 になります。[III]とは異なります。
[II]は、係数1の表記省略という余計なのが入り込んでいるので、これまた質が異なります。[III]とは何ら矛盾しません。
あなたがコメントを重ねて挙げられた例は、別に何の矛盾も示していませんよ。おわかりいだたけますかね?
タイトルにも掲げている 2a÷2a という式は、この記事で問題にしていることを過不足なく表しています。この例題だけで説明できます。文字なしの6にしてみたり係数1にしてみたりするとその際に余計なものが入り込むということに気づいていただきたいです。
> 「天と地ほど違う」理由を数学的にご教授願います。
「数学的に」と言っても表記ルールの問題ですから。
乗算記号はしばしば省略されます。この記事で挙げている Smith の文献なら第5条です。「単なる省略」に過ぎません。
括弧は“ひとまとめ”に扱うことを表します。Smith の文献なら第16条です。演算の暗黙の優先順位に逆らわないなら、括弧はあってもなくても同じで a+b×c-d÷e+f は a+(bc)-(d÷e)+f です。逆にいうとそれ以外のところに付けたら演算の順序は変わって同値ではなくなってしまうので勝手に付けたり消したりしてはいけません。2a÷2a と 2×a÷2×a は同値ですが 2a÷(2a) とは同値ではありません。
まず、1a÷1aと2a÷2aで演算結果が異なるとするのはなぜでしょう。
それぞれ、係数が1か2だけの違いなのに、前者は(1ｘa)であり、後者は2ｘaであると言います。
理由は、表記ルールだからですか？
途中式の「1ｘ」挿入は、表記ルールだと思いますが違いますか？
※すべての数は係数１であるから、省略できる。
まだあります。2aは、数字、文字の順に並んでいます。
これは任意に入れ替えができる（整理できる）表記ルールです。
しかしながら、2a÷2a=a²の考えでは、2a÷a2は別の解を返しますから別式です。
この時点で、周知の表記ルールに反します。
並べ替え、整理は計算結果が変わるため不可能です。
つまり、、「その表記が数学のほかの場面での表記ルールと矛盾」です。
括弧についてですが、無理に生じているわけではありません。
[I]と[III]の質が異なる、というのは、6という定数または、cという変数に代入するということですか。
元のcには括弧がないのに、いきなり(2a)と括弧を追加してらっしゃる。
お言葉を借りれば、「在りもしない括弧」を勝手に追加しています。
括弧をつける場合、つけない場合、これも曖昧です。
私は代入、変形はすべて括弧が必要と考えますが、貴方は、係数が2の変形だけ不要という。
括弧の勝手な追加と言えば、
一部計算ツールが、異なった解を返すのは、
2a÷2a=(2a÷2)aと勝手に括弧を追加しているためです。
googleでもexcelでもなんでもいので、入力してみてください。
ちゃんと、「勝手に括弧を追加」してくれます。
すなわち、やっていることは同じなのですよ。
そのうえで、どちらが正しいか考えねばなりません。
＞2a÷2a と 2×a÷2×a は同値ですが、
といいつつ、
1a÷1a=1ｘa÷1ｘaではないという。
その理由が、
[II]は、係数1の表記省略という余計なのが入り込んでいるので、これまた質が異なります。
そしてその根拠を提示されない。
少なくとも、括弧は「先に計算する」のではなく、「その値を保証する」ものです。
ですから、変形、代入の前後には必ず必要になってくるものと私は考えます。
2×3＝6ですが、6=2ｘ3ではない。1ｘ6かもしれないし、3+3かもしれません。
少なくとも、変形の前後に値が変わってしまわないために、括弧で保証します。
代入に際しても、単純に定数だけならともかく、式を代入する際は括弧で保証します。
この考え方で行くと、必ず2a÷2aは1になります。
係数が1だろうが2だろうが不変です、また文字と数字の入れ替えも、
前に述べた理由で可能となっています。
わかりやすく言えば、2a÷2aと2a÷a2は、2a÷(aｘ2)ですので、
結局は、2a÷(2xa)と同じになり、可変であるとするものです。
これは、既知のルールに矛盾しません。
係数１の省略についてもです。
理解できないなら、理解しなくても構いません。
ですが、少なくとも、どちらが正解というよりは、こういう考え方があり、
2a÷2a=1も一理あるな、程度で心に留めて頂ければと思います。
> まず、1a÷1aと2a÷2aで演算結果が異なるとするのはなぜでしょう。
> それぞれ、係数が1か2だけの違いなのに、前者は(1ｘa)であり、後者は2ｘaであると言います。
そんなこと言っていませんよ。
> しかしながら、2a÷2a=a²の考えでは、2a÷a2は別の解を返しますから別式です。
そのとおりですよ。
> この時点で、周知の表記ルールに反します。
「周知の表記ルール」が何かよくわかりませんが、特に問題があるとは思えません。
> 一部計算ツールが、異なった解を返すのは、
> 2a÷2a=(2a÷2)aと勝手に括弧を追加しているためです。
> googleでもexcelでもなんでもいので、入力してみてください。
> ちゃんと、「勝手に括弧を追加」してくれます。
違います。括弧をまったく付け加えないで、左からひとつづつ順番にやっているだけだからです。
> 1a÷1a=1ｘa÷1ｘaではないという。
そんなこと言っていませんよ。
> ですから、変形、代入の前後には必ず必要になってくるものと私は考えます。
あなたの言葉を借りれば「ただの主観」ですか。
> ですが、少なくとも、どちらが正解というよりは、こういう考え方があり、
いえ、ここに書きましたように、また前のコメントにも書きましたように、あなたのお考えは随所に間違いがあります。ご自分で書かれた
> まずは自分の誤解がないか反芻し、矛盾点を理論的に潰していった結果です。
を、きちんとやり直すことをおすすめします。
そうですか。いろいろ残念です。
随所にあるという間違いは指摘せずに、とにかく右から左へと受け流してしまわれた。
計算ツールの件でも、きっとご覧になられていませんよね。
しっかりと括弧が追加されていますが。
＞そんなこと言っていませんよ。
＞あなたの言葉を借りれば「ただの主観」ですか。
すべてがただの返信です。
私の主観でない事は、式の可逆性や、検算結果で述べました。
貴方は何も証拠を示せていません。
私はこう思う…１
なぜならば、数式によってこうなるからだ…２
そして、それは既知のルールに矛盾しない…３
貴方はいつも１ばかりですね。
> ですから、変形、代入の前後には必ず必要になってくるものと私は考えます。
次の行から数式で説明しています。つまり２ですね。
そして、それは「1が省略可能」「文字と数字はいれかえできる」という、
既知のルールに反しない。これが３にあたります。
１は、誰でも言えます。
２は、数式ですから、理解力があれば理解できます。しかも非常に簡単な式です。
３は、誰でも知っているのではないですか？いちいち説明する必要もありません。
主観だと思われるのであれば、
変形、代入の前後には括弧が不要な数式をお示しください。
そして、それが３に矛盾しないこともあわせてお願いします。
それが忌憚なく満たされれば、私の意見の間違いを認めましょう。
とはいえ、まずは、
> しかしながら、2a÷2a=a²の考えでは、2a÷a2は別の解を返しますから別式です。
そのとおりですよ。
について、別式であると認めたわけですから、
÷a2、÷ba、もしくは、÷a2b等、全く見かけない理由をお願いします。
わざわざ、そういう問題を避けているとお思いですか？
文字、数字は、数字→文字に並べ替えてよい、とするルールについてはどう思いますか。
げんなりしながらもこうしてここに書くのは、ひとえに後にここを見る読者のためです。もうこの方のトンデモさは顕になったと思うので、付け加えることはあまりありません。
元記事で取り上げているのはまさに元記事のとおりであって、それに対する私の考えは上のほうのコメントにもまとめていますが再掲しますと、
—
演算の優先順位は
・括弧
・乗除
・加減
・左から
というのは小学校で習います。中学校のはじめに指数表記を習ったらそれが「括弧」と「乗除」のあいだに入るでしょう。これだけで済むんです。大人になっても。
だから中学校でもどこでもちゃんと括弧を使うように練習すればいいのです。それをせずに、なんだか「ただし単項式で割る場合は括弧なしでも括弧があるようにみなして扱う」みたいな例外のルールを追加して、ひどくみっともないことになるのがおかしいと言っています。
—
に尽きます。
問題はすっきり整理されているはずなのに今回のこの方は、わざわざトリッキーな例を持ち出して、そして案の定自分でそれにひっかかって騒いでいる訳です。ここが間違っていますよと指摘しても
> 随所にあるという間違いは指摘せずに、とにかく右から左へと受け流してしまわれた。
いやいやいやいや。
さらに言えば、ここは私のページです。そりゃあコメント欄を開放していますからいくらかの覚悟はしていますが、今回のこの方はたとえて言えば、人の庭に邪魔くさい石を投げ込んでおいて自分でけつまずき「どうしてくれる!」と言っているようなものです。はっきり言って、お引き取りください。できれば石も片付けて。
さて実にどうでもいいことなので黙っていましたが、もう最後なので書いておきます。「忌憚なく」の言葉の使い方が間違っていますよ。2度ほど出てきましたが。辞書でご確認ください。ではさようなら。
こんにちは。ずいぶん前の記事なのは分かっているのですが、すごく面白かったのと自分の考えを伝えたくて思わずコメント書かせて貰いました！
僕は最初は2a÷2a=1に疑問がなく、Makoさんの伝えようとしていることが分かりませんでした。逆に他の方のコメントは難しかったですが、パズルのようでなるほどーと感心してました。(特に最近コメントされていた方は僕でも分かるくらい丁寧で数学にすごく興味がもてました！)
でも最後まで読んでみて、Makoさんが仰っているのは数学の話じゃなくて最初から表記の仕方についてだけなんだって分かり、その点を誰もはっきりさせてない気がしました。
2a÷2a=1派は、2aと書かれたものを本来扱いたい値と保障するには先に処理しないといけないって考え方で、Makoさんは、明確に記述されたルールに沿って見るとそもそもその扱いたい値が何なのかこの式の書き方だと明確じゃないので、囚われずに明確なルールにだけ沿って書き直すと2×a÷2×aなんだからaの二乗になりますよ。って話だと僕なりに理解しました。
そのうえで、2a÷2aを見てなぜ2aが１つの塊だと断定出来るのかを2a÷2a=1派が説明出来れば良いのかなと。
(僕は演算記号を見て無意識にそこで区切りとしてました。その考え方が数学のルール内で明確なのかは分かりません）
でも複雑な式だと僕は区切りが良く分からなくなることが多いので、Makoさんの言うようにちゃんと括弧をつけるに賛同します！
この記事を見るまで考えたこともない世界を見て、興奮して長くなってごめんなさい。
でももっと色々みたいと興味を持たせてくれてありがとうございました！
ここまでのくだらなく長いコメントを読むのはさぞ大変だったでしょう。ご苦労様でした。
あなたのまとめられている通り、実はぜんぜん大した問題ではなく、単に表記の問題なんですよね。
> そのうえで、2a÷2aを見てなぜ2aが１つの塊だと断定出来るのかを2a÷2a=1派が説明出来れば良いのかなと。
その派の人たちは、まずはじめに「2aが１つの塊だ」というのがあって、それからその理由をひねり出さなきゃならないとあがいているのだろう、というふうに、これまでここに付いたコメントに応じてきて、つくづく感じています。順番が逆なのにね。その出発点に掲げたものをいったん降ろしてゆっくり考えてみればうんと楽になれるだろうにと思います。
再三言っていますように私は、括弧をつければ済む、と思っています。高校入試や中学の数学から早くこのようなくだらない問題がなくなればいいなと思います。
さきほどコメント書かせて頂いたものです。返信まで頂いてありがとうございます！
僕、他の方が書いていた単項式というのを良く分からずに書いていたのですが、2aを１つの塊とみなすルールあったんですね。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/mobile/polynomial2_m.htm
ここみて単項式って何か知りました。
無知で恥ずかしい。
単項式のルールに当てはめると、2aで１つと判断出来るんですね。
でも上のサイトだと普通の乗算より優先しないといけないかは分かりませんでした。
ただ普通の数字も次数が0の単項式と書かれているので、2aも普通の数字のように１つとして捉えないといけない？
2a って記述がそもそも何を表したかったかを考えるとやっぱり先に計算しないといけない。
うーん、単項式というのを知ると少なくとも2a ÷ 2a には括弧は無くて良い気がしてきました…
2aは単項式って当てはめると括弧が無くても問題にならないでしょうか？
（ごめんなさい、決してひっかきまわしたいわけじゃないのですが、気になってしまって質問書かせて貰いました…）
「単項式」の対になる言葉「多項式」のほうから考えるといいかもしれません。
多項式というのは「項」がたくさんの式、その「項」がたったひとつしかないと単項式です。「項」が+か-でつながれたものが多項式です。
ところでその「項」って何だ? というと、+や-を含まない塊です。+や-があるとそこが項の切れ目で多項ということになりますからね。
ただ 2a だけがあるとき、これはこれでひとつの項です。これを 2×a と書いてもひとつの項です。+や-がありませんからね。
では、2a÷2a は? これに+や-はありますか? ない。じゃあどこまでがひとつの項ですか? そうですね。この式で 2a のところだけを取り出して「項」と言ってはいけませんね。
ごめんなさい、ちゃんと単項式についての見解書かれていたのに大変失礼しました！
ほんと考えなく勢いで書いちゃってすみませんでした…
本題からズレたことが色々気になって沢山質問を書いてしまったのですが、自己解決出来ました！
と、言うより「ちゃんとした答えがない」ことが分かりました。
ご丁寧に色々教えて頂きありがとうございます！
最終的には「単項式という考え方がそもそもの癌なのでこんな書き方やめればいい」が自分の中の答えでした。（括弧を使えば同じことを表現できるのだから）
こんなことに5時間も使ってしまったけれども謎の充実感が（笑）
それでは失礼します。
また他の記事も読ませて頂きますね！
改めて説明を分かりやすく書いて下さりありがとうございます！
多項式は項を＋や－で繋いだもので、項は積で表したもの、単項式は項を表す式なんですね。
てっきり普通の数字も単項式というんだと早とちりしました。普通の数字も項として扱えるってことなんですね。
と言うことは、今回の例の除算はルール上は中に浮いてる（正確に定めらていない）のでしょうか？（単項式、多項式いずれのルールにも当てはまらないから）
あれ？でも「多項式=単項式を＋－で繋いだもの」で「多項式を分解したもの=単項式」というわけでは無いのですよね？
（単項式で調べると、係数と呼ばれる定数との積として書ける多項式の一種とありました）
多項式と切り離せるなら、2a ÷ 2a = 1 は単項式と除算記号を繋いだ式というだけで2a は単項式だと断定できないでしょうか？
あーでも除算は乗算に直せるから、やっぱり区切りがない？？？
勉強できないので、とんちんかんなことばかり聞いてすみません…
私の想像ですが、
2a 分の 2a を昔ながらの横線の分数で 3行で表しておけば何も問題は起こらなかったのに、計算機が普及して 1行で表すために / などという記号を導入したのが混乱の原因ですね。
2a 分の 2a を 2a / 2a で表して後で間違っていると気づいた人が、修正するのもしゃくだと思ったのか強引に
乗算記号の無い乗算は乗算記号のある乗算より優先度が高い
という規則を作ったのでしょう。
こんな変な規則を作るより、
分数を / で表すときは分母を ( ) でくくれ
という規則にしておけばよかったのに。
[1′]は正しいです。除法は乗法に直せるから。
[3′]2a÷2a=1は正しいです。これは，後半の2aが”積”だからですね。積はかけ算の答えですから，先に計算するのが当然です。
つまり，[2′]が異なるのです。
教科書では，文字式の”積”を表すのに，「乗法の記号を省略して表す」としています。積とはかけ算の結果です。
つまり，a×b=abではあるけども，a×bとabは意味合いが異なります。
それが筆者さんの混乱の原因になっているのでは無いでしょうか。
ですので，括弧を用いるまでも無く2a÷2aは(2a)÷(2a)の意味であります。
書き忘れたのですが，あなたが
1′. かけ算の記号を書いたときと省略したときでは意味が違い、省略されたかけ算は明記されたものより優先順位が高い
として導入されていることですが，「教科書に書かれている」ことです。
教科書には，a×bの積をabのように×を省略して表すとあります。これは上のことそのままでしょう？
かけ算の式と積は意味が異なりますから。また，積は計算結果だから明示されたかけ算より優先順位が高いのは当たり前です。
後，高校までの教科書で（大学でも普通は）割り算記号として／は使わないと思います。分数形か割り算。多項式なら当然括弧を加えます。
論文はすべて見ているわけでもないので知りませんが，あなたが書かれているように曖昧な書き方だと断じられて当然だと思いますよ。でも，それとこれは異なる話です。
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