繰り下がりのあるひき算で、「減減法は筆算でつまづく」か

スウちゃん(仮名)は2年生になり、小学校でも筆算を習うようになった。早い時期から位取りの概念を掴んでいてもらいたく、家では1桁どうしのころから筆算に慣らしていたので、特に苦労はないようだ。

学校の宿題のドリルをやるのを脇で観察していたらスウちゃんが「自分のやり方でやってもいい?」と聞く。何のことかと思って「いいよ」と返事をして見ていると……。

32-19たとえば「32-19」の場合、スウちゃんは次のようにやる。

  • 2から9はひけない。そこで9から2をひいて、7
  • その7を10からひくと「3」。これを一の位のところに書く
  • 十の位の計算はさきほど使ったぶんの1を減らして、「1」

父である私は多数派(たぶん)のやり方、「10から9をひいて1、それを2とたして3」とやる。調べてみると自分のやり方には「減加法」という呼び名があるようだ。それに対して「減減法」というのがあって、「9のうちひけるだけの2をひいて、ひききれなかった7を10からひいて3」とやるらしい。スウちゃんのやり方は「減減法」の亜種という感じだ。

調べていて、「減減法は筆算でつまづく」というのを何回か見かけた。そうだろうか。

スウちゃんは、筆算の問題をたくさん見ているうちにこの「法則」を発見(という言葉は使わなかったけれど)したとのこと。だから筆算のときだけこのやり方になる。というか彼女の中ではこのやり方自体が「筆算」という解法の一部らしい。それなりに理にかなっており筆算の邪魔になってはいないように見える。将来何か困ることがあるのだろうか。

スウちゃんのやり方は、この論文では「誤りのパターン」と言われている

スウちゃんに繰り下がりの意味をあらめて聞いてみると、学校でも習ったとおりにきちんと説明できる。それに、1年生のときの「20未満ひく1桁のひき算(繰り下がり)」は「ひき算カード」で何か月も宿題として暗唱させられていたから、それはすらすらと口から出てくる。

いずれにしろ、機械的に計算する(筆算とはそもそもそういうものだと思うが)場合はともかく、「ひき算」や「繰り下がり」の意味を見失わないようにしておくことが肝心なのだろう。

昨年のクリスマスプレゼント「インラインスケート」

また今年もこの時期になったわけですが、昨年のプレゼントを1年間経ってから振り返ってみるシリーズです。

当時6歳のスウちゃん(仮名)の元に届けられたのはインラインスケートでした。秋口に一度アイススケートに連れて行ったらずいぶん楽しかったらしく、何度もせがまれてそのうち2,3回はまた連れて行ったのでした。いっそのことアイスでなくてもいいのでは、とサンタクロース代理人である私は考えました。

当時、まずおもちゃ屋を見てみたのですが、確かに値段の安いおもちゃ風のものはありました。でもちょっとちゃちすぎないか、と思わされる作りでした。いっぽうでネットで調べてみると本格的なものは値段も本格的。そこでそのあいだくらいという感じの「RIP SLIDEジュニアアジャスタブルインラインスケート5点セット イエロー L」にしてみました。これを書いている2015年11月現在、同じものは品切れとなっているようです。

サイズはやや大きかったのですが、靴下を履いてしっかり締めればグラつきはなく大丈夫のようです。滑りはそこそこよかったです。いちばん近くの練習場所は舗装があまり上等ではなく、どちらかというとそちらのほうが問題ですね。いい場所で滑ればかなりいいのだと思います。

アイススケートで少し慣らしていたこともあって、よたよたと歩いては転び立ち上がるというのを数回繰り返した後は、徐々に滑る(というよりは「歩く」か「走る」程度)ことができるようになりました。子どもはすごい。

残念なのは、まわりの友だちも持っていないと楽しく一緒に遊べない、という点ですね。まあちょっと早すぎるかなという年齢でもあるので、同い年の友だちが持っていないのはしかたありません。サイズはアジャスタブルでもう数年は大丈夫なので、そのあいだに仲間が増えるといいな。

先取りなのか回り道なのか—さんすう編—

長いあいだこのブログも更新していなかったが、そうするうちにスウちゃん(仮名)は1年生になった。

8か月ほど前に「ドミノとさんすう」で、その頃の“さんすうのおべんきょう”について書いてみたのだが、現在の状況についてメモしておこう。なお家での独自の“べんきょう”についてであって、学校でのさんすうや宿題は、これとはまた別にあるのは言うまでもない。

前の記事の『ふたたび「さんすう」』の節にも書いたとおり、筆算(縦書き)をかなり早めに(ほとんど意味がないと思える1桁どうしの計算のころから)教えてきた。また、ブロックを使っていたものが2桁どうしになるとほぼ無理となり、簡単な図を描くように変わってきた。

現在(小学校1年生の6月末)は、2桁どうし[1]のたし算・ひき算の筆算を、脇に図を書きながらやっている。とにかくたし算・ひき算だ。かけ算は1桁どうしもやっていなければ、図形もやっていない。

こちらが問題を考えて作ってやるのが面倒なので、半自動で作成するようにした。つまり、LaTeX の emath マクロを利用して、その中の

を使って、A4横置きの紙に20問(たし算かひき算かはランダム)を出力するようにした。スウちゃんは気が向いたら(それは退屈でほかにやることがないときか)これをプリントして、やっている。

繰り上がりや繰り下がりのときの「筆算でのテクニック」—上に1を書くだの—は教えていない[2]。そのため、脇に図を描いては「10の束が何本、ばらが何個」というふうにやっている。わりと間違えないし、そこそこ速くできるものだ。

「テクニック」はそのうち学校で教わるだろう。そのときにあっと思ってくれればいい。テクニックばかり先に覚えてしまうとその元になっている考え方は忘れてしまうだろう。そういえばいま学校では1桁のたし算(結果が10まで)をやっている。宿題で「けいさんカード3回」などが出る。単語カードのようなものの表側に「2+5」「3+1」「4+4」と書かれていて(たとえばこんなようなもの)、それをすばやくめくりながら「なな!」「よん!」「はち!」と声を出すのだ。たし算のしくみはきっちり教えられたうえで、いまはこのカードなのだと思いたい。

筆算の「テクニック」は学校で教わるころまで措いておくことにして(そのうち自分で“発見”するかもしれないしね)、今日もまた棒と丸の図を描いているのであった。

  1. 計算の結果が3桁になることもある。
  2. ただし繰り上がり(「10束が1本できるよね」)や繰り下がり(15-7など)そのものの考え方については教え、何度もブロックで手を動かしてきた。

昨年のクリスマスプレゼント「ビルダーキット テクノ ツールボックス」

今年もそろそろサンタクロースの代理としてクリスマスプレゼントを考えなければならない時期になりました。昨年のプレゼントを思い出してみますと……。

当時5歳のスウちゃん(仮名)に届いたのは、Quercetti の「ビルダーキット テクノ ツールボックス」。しばらく前から、大人がちょっとした家具を組み立てたり自動車のタイヤを交換したりするときに「スウちゃんも!」とスクリュードライバーやスパナを持ちたがるので、こういうものにしてみました。

難易度はそれほど高くなく、前年(4歳)の Zometool と順番が逆だったかなという感じも少ししましたが、これはこれで非常に楽しんでくれました。

簡単な作成例(完成図のみ)の冊子が付いていて、はじめはそれをまねて作っていました。徐々にオリジナルの車や、収納箱の蓋(たくさん穴が開いていてネジがきってある)に平面状に絵を作ったり。

場所によって適切な長さを選ぶとか、その頭のミゾに合わせて工具を変えるとか、さらにナットを締めるときに反対側のボルトも工具で押さえておかなくてはならないというような、どうかすると大人でもうっかりしそうな技を習得しつつあります。

プラスチック製のボルトとナットで(ほかのパーツや工具もすべて)、車のハンドルなど可動部はすぐに緩んできてしまうのがやや難ですが、逆にこれがきっちり締まるようになっていると、幼児の手ではとれなくなってしまうのかもしれません。

ドミノとさんすう

ドミノ

スウちゃん(仮名、6歳)は保育園から帰るととにかく「遊びたい」。眠っていないあいだはとにかく遊び続けなければ死んでしまうというくらい遊びたい。といって家や近所に子どもはいないから、一人遊びじゃなければ大人が相手をすることになる。いろんなゲームもやってきた。カルタ、すごろく、どうぶつしょうぎ、オセロ……。そして最近の流行はドミノだ。

【DOMINO W6 in The Wooden Box】木箱入プラスチック製ドミノ W6 白黒Premium Set of 55 Double Nine Dominoes with Wood Case, Brown いまうちにあるのは私(=スウちゃんの父)が学生の頃に麻雀牌も売っているようなおもちゃ屋で買ったもの。でもいま日本でちゃんとしたもの[1]はあまり売っていなさそうだ。「木箱入プラスチック製ドミノW6白黒」だと真ん中に鋲がないなあ。Amazon USA のダブル・ナインは鋲あり。日本から買うと送料が本体と同じくらいかかってしまう。

ルールは「ファイブ・アップ」(参考1参考2)。

しばらくは点数関係なしで、札の出し方を学習。ゲームとなれば子どもは簡単に覚える。

続いてプレイ中の得点。どれを出せば得点になるかなんて戦略もないのでとにかく出せるものを出す。たし算ができないので、出したものを大人が計算してやる。「5の倍数だったら、5で割った商が得点」なのだが、意外に早く5の倍数を覚える。「15」→「3点!」、「20」→「4点!」のように[2]

終了時は「相手の手に残った目の合計を5で割った値(うちでは端数切り捨てというローカルルール)」でやっているが、これも合計を大人がやってやれば「その中に5はいくつ入ってる?」と聞けばほぼ得点を出せる。九九で言えば「5の段」が、それも九九とは全然別の形で頭に入っているらしい[3]。ゲームだとこんなことまでできるんだなあ。

まともな勝負には程遠いが、とりあえずなんとかゲームの体をなすことはできる。さて、大人は手札を元に計算しながら出せるので、強い。同じ札でもあっちに出せば得点できるのにこっちに出すと得点できないということも起こる。子どもはだんだん悔しくなってくる。ここで「たしざんができるようにならないとつよくなれないねー」ということになる。

たたみかけるように、ここでダブル・ナインのセットに替えて同じゲームをやると目の数がぐっと増えるので、それまではたし算できなくても目を数えあげて何とか出来ていたものも追いつかなくなり、いよいよ悔しさをつのらせる。

さんすう

1年ほど前、何の拍子だったか忘れたけれど数に興味を示して、そのうち「同じ数を2回」、つまり「2と2は4」「3と3は6」「4と4は8」……を言えるようになっていた。九九で言えば「2の段」に相当する。せっかくそういう興味が出てきたのならちゃんとやってあげようか、などと考えて、道具を揃えてみた。

カラフルマスキューブ テキストには「わかるさんすう 1」。かなり古くまた検定は通しはしないけれど「教科書」としてしっかり練られたものということを知っていたので、これにしてみた。Amazon では手に入りにくいが、ふつうに街の本屋さんで注文したら簡単に入手できた。

わかるさんすう 1」では、「タイル」を使う。手作りでもいいけれど、横着して買うことにした。「タイル」ではなくて「キューブ」。似たような商品もあるが、安さと、それに「接続できる」ということでこれにした。またちょっと別のもので「100だまそろばん」というのもよく評判を聞くが、やはり自由さの点でキューブにした。

2カラーせんせい 紙が潤沢に使えるのであればそれがいいのだろうけれど、きりがないのでうちではもっぱらおえかきボードを活用している。

いまは2色の「2カラーせんせい」なんだな。うちにあるのはおさがりでもらった「スーパーせんせい」で1色のもの。元の持ち主は4歳くらいでもう飽きて遊ばなくなったからと、スウちゃんが1歳か2歳のころにもらったものだが、うちではいまだ現役。でもこういう用途だと、もうすこし画面が大きく、また解像度が高いといいなと思う。

さてさて、今から1年ほど前にこうして「さんすう」をやりかかってみたけれど、スウちゃんははじめのあいだはともかく、ほどなく興味を失ってしまった。こちらも是が非でも早期教育をとも思っていなかったし、ただ、もし数に興味を示すのなら(ほら数学の天才は幼児期からそうだと言うでしょう)その芽を摘まなくても、という程度の考えだったので、めったに日の目を見なくなっていた。つまりスウちゃんは数学に関しては天才ではなかったわけだが。

ふたたび「さんすう」

時は戻ってふたたび現在。ドミノのおかげで、たし算をできるようになりたい、という気がスウちゃんに俄然湧いてきた。こうなると見向きもしなかったテキストとキューブ(ブロック)に取り組み始める。

いまは

  • 5-2進法は強くこだわらないことにする。本人がどちらが楽かまだわからないので。
  • たし算を同時にひき算も教える。「7は5と2だから……」のように、たし算の過程でひき算に相当する部分が出てくるので。
  • ほとんど最初から筆算(縦書き)にする。この先の繰り上がりを見据えて。
  • 適宜ブロックを使う。
  • いまのところ、素過程を網羅的に、とは考えない。これは「水道方式」のいいところを落としているのかもしれないけれど。少し先にひき算(13−7など)をやるときに困るかもしれない。そのへんは行きつ戻りつやればいいか。
  • 文章題も適宜。逆に「たし算の問題を作る」ような作業も多めに。

という感じで進めている。

自由な発想

スウちゃんはすごろくなどのゲームやドミノでサイコロ(の目の形)に親しんでいたからか、「6は3と3」の意識が強い。5-2進法のための「6は5と1」とはなかなかならない。そこで「6+3」を計算する際はブロックを3×2に並べ、そこに3つのブロックを加えて3×3の形にし、「こたえは9」になる。どうやらイメージ先行らしい。

この先の発展のためにはどうかとも思うが、まだカリキュラムに沿った学習をしていない子どもの発想は自由でおもしろい。「8−2」は、まず2×2×2の立方体を作って「8」。なんだそれ。3次元じゃないか。2の3乗だよ。それから2つをとり、変形させて3×2にして「6」。このへんはボール紙で作ったタイルじゃなくて、縦横に接続できるカラフルマスキューブにしていたからこそだったかもしれない。

世の中、算数だけで出来ているわけではないから、小学校に入って型通りの授業が始まるまではこの自由な発想を楽しむことにしよう。

さて、こんな調子でスウちゃんはドミノが上手になれるだろうか。

  1. と言っても、うちのもさすがに象牙製ではない。ドミノ倒し用ではなく樹脂製の適度な重みのもの。
  2. これと同時期に時計の分針を読めるようになり、「ドミノといっしょ!」と叫んでいる。
  3. いまの段階で九九の暗誦なんて絶対にやらせたくない。

昨年のクリスマスのおもちゃ Zometool

たまには子どものおもちゃのことなど。

昨年のクリスマス、4歳のスウちゃん(仮名)の元に届いたプレゼントは Zometool (ゾムツール)。その中の「ゾムツール Creator 1」というキットでした。

家ではダイヤブロック(知人の子からのおさがり)、保育園ではレゴが大好きなスウちゃん。といって同じものを増やすだけでは面白くない、と父である私はサンタクロースの代理人として悩みました。

布団に入ってつらつら考えるうちに、そうだ、組み立ておもちゃでもいま遊んでいるのはボリューム系(中身の詰まったブロックタイプ)だから、逆に骨格系というのはどうだろう、と思いつきました。平面の多角形や立体の正多面体も作れるものがいいぞ、とこのとき頭にあったのは遠い学生時代に見た分子模型です。ノードになる玉を棒でつなぐようなものです。でも小さな子どもでも楽しめるんだろうか、多くの多角形や多面体を作ることができるようにするには、様々な角度に対応できないとならないぞ、するとノードの接続穴はどうなっていればいいだろう、いっそスポンジ玉のように自由に抜き差しできるものなんだろうか、棒もいろんな長さの種類がないといけないな……などと考えながら眠りに落ちました。

DSC_5303_1.JPG翌日、あれこれとキーワードを試しながら検索しているうちに見つけたのが Zometool でした。これは私の浅はかな考えをあっさりと超えたすばらしいシステム(ノードは斜方二十・十二面体、棒の長さは黄金比など)でした。これを考えた人はすごいし、これを子どものおもちゃにしているところがさらにすごい。4歳の子どもにはちょっと高度すぎるかなと思いつつも、私のほうがもうすっかり欲しくなってしまいました。

1年前でドル円のレートもまだ有利だったこともあり、アメリカの Amazon で、送料を加えても日本での価格よりずいぶん安く買うことができました。

スウちゃんはたいへん気に入り、付録の作例(PDF)マニュアル(PDF)をまねてさっそくいろいろな形を作りました。そのうち勝手に別の形のものを作っては壊して遊んでいます。夏にはマニュアルにもあるように、石鹸液に浸けて膜を張らせたりして遊びました。

年齢のいかない子どもにとってちょっと難しいのが、いったん挿した棒を抜くことです。このときに棒の挿す部分を折ってしまいがちです。特に赤(断面が5角形)が弱いようです。それが欠点といえば欠点。あとは価格がやや高いこと。

別のおもちゃなどに興味が移って最近でこそ Zometool の出番は減っていますが、数年経って、あるいはそれこそ幾何や分子構造の知識を得る頃にも、また楽しめるのではないかと思っています。